偏导数的几何意义

固定其中一个变量，剩下的就是一元函数。沿固定方向去切曲面，留下的「截痕曲线」在切点处的切线斜率，就是该方向的偏导数 $f_x$ 或 $f_y$。

定义回顾

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 处可偏导：

几何刻画

固定 $y = y_0$，曲面 $z = f(x, y)$ 被截成曲线 $C_x:\;\{z=f(x,y_0),\,y=y_0\}$。$f_x(x_0, y_0)$ 即 $C_x$ 在 $M_0$ 处切线 $T_x$ 关于 $x$ 轴的斜率；$f_y$ 类似地是 $x = x_0$ 截痕的切线斜率。

显式曲面的切平面

两条偏导切线张成一个平面——它就是曲面在该点的最佳线性逼近，也是几何上「全微分」的体现。

切平面方程

若曲面 $S:\,z = f(x, y)$ 在 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 处偏导连续，则 $S$ 在 $M_0$ 处的切平面方程为：

过 $M_0$ 与切平面垂直的直线是法线，方向向量 $\vec{n} = (f_x, f_y, -1)$：

为什么是这个平面？

$T_x, T_y$ 两切向量分别为 $(1, 0, f_x), (0, 1, f_y)$，叉积给出法向量：

隐式曲面的切平面

当曲面以 $F(x, y, z) = 0$ 给出时，它的法向量正是梯度 $\nabla F$。这一性质把「偏导」与「方向」紧紧绑定。

切平面与法线

设曲面 $S:\,F(x, y, z) = 0$，$F$ 在 $M_0$ 处可微且 $\nabla F(M_0) \neq \vec{0}$，则 $S$ 在 $M_0$ 的切平面：

法线方程：

为什么 $\nabla F$ 是法向量？

设过 $M_0$ 的曲面上任一光滑曲线 $\vec r(t)$，对 $F(\vec r(t)) \equiv 0$ 求导：

这表明 $\nabla F$ 与曲面上所有切向量正交，自然就是切平面的法向量。

空间曲线的切线与法平面

空间曲线在某点的切向量就是 $\vec r\,'(t)$；过该点垂直于切向量的平面就是法平面。

切线与法平面

对参数曲线 $\Gamma:\;\vec r(t) = (x(t), y(t), z(t))$，在 $t = t_0$ 对应点 $M_0$ 处的切向量：

切线方程：

法平面方程：

两曲面交线情形

若曲线由 $\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$ 给出，曲线切向量同时垂直于 $\nabla F, \nabla G$，因此：

方向导数与梯度

从坐标方向推广到任意方向，得到方向导数；其中变化率最大的方向就是梯度，它垂直于等高线。

定义

设单位向量 $\vec l = (\cos\alpha, \sin\alpha)$，则 $z = f(x, y)$ 在 $P_0$ 沿 $\vec l$ 的方向导数：

当 $f$ 可微时：

梯度的三大性质

记梯度 $\nabla f = (f_x, f_y)$，由 $\nabla f \cdot \vec l = |\nabla f|\cos\theta$（$\theta$ 为夹角）：

• $\theta = 0$：方向导数最大值 $|\nabla f|$，方向 = $\nabla f$（函数增长最快）。
• $\theta = \pi$：方向导数最小值 $-|\nabla f|$，下降最快方向。
• $\theta = \pi/2$：方向导数为 0，对应等高线切方向。

综合自测

5 道题覆盖前面所有核心知识点。点击选项即可看到答案与解析。

学习总结

本作品的核心思路是：把所有"导数"翻译成"几何对象"——切线、切平面、法向量、梯度向量。

• $f_x, f_y$ ⇄ 截痕曲线在切点处的斜率；
• 显式 / 隐式曲面切平面 ⇄ 局部线性化；
• $\nabla F \times \nabla G$ ⇄ 两曲面交线的切向量；
• 方向导数 = 梯度在该方向的投影；
• 梯度的几何意义贯穿优化、CAD、流场、机器学习。